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謝濤老師:為什麽要備考劍橋STEP考試?

作者簡介
优易国际教育-谢涛老师-形象照

謝 濤

獨立教師,碩士,牛劍導師、競賽金牌教練。原北京海淀著名公立高中國際部首批全英授課雙語教師,並擔任教學總監、學術校長等職。擁有17年高中課程教學與牛劍、競賽課程研發經驗。受惠於其課程的學員上千人,其中獲得藤校、牛劍、G5大學錄取的超過100人,獲得各類國際競賽頂尖獎項的學員更是不計其數。

自2021年劍橋取消STEP 1考試、僅保留STEP 2和3之後,其考試門檻隨之大幅提高。

本文嘗試從備考重點、時間規劃、訓練方法、備考資源等多個方面考生一些建議,希望能幫助考生們提高備考效率、在STEP考試中取得理想的成績。

一、STEP備考重點

STEP考試全方位考查學生的數學學科素養,而不僅僅是考查中國學生最擅長的運算能力。因此,學生需要先了解STEP考查的重點是什麽,才能有的放矢、進行針對性的訓練,從而提高STEP考試成績。

1. 數學推理的嚴謹性和完備性

多數學生在校內學習時沒有經過系統的邏輯推理方法的訓練,所以在進行數學推理時更多的是憑直覺解決問題。

STEP題目給的條件一般都比較復雜,要得出最終結論需要若幹步驟,而這些步驟之間的邏輯關系及其嚴謹性是重要的得分點。

復雜的證明題往往需要對若幹情形進行分類討論,討論不完整容易導致大幅丟分。

謝濤老師一般都是從訓練學生的數學推理能力開始,因為嚴謹性和完備性相輔相成的,也是備考的重中之重。

2. 數學證明方法

STEP考查的數學證明方法非常有限,都是高中數學最常用的證明方法。掌握這些方法本身並不難,難的是在復雜題目中選擇合適的方法並能熟練運用。

證明方法的運用建立在數學推理基礎之上,需要通過一定量的經典題練習來積累經驗,從而提高運用數學證明方法的熟練度。

3. 在新情境下知識遷移的能力

多數學生最容易卡殼的是STEP題最後一個小問。所以很多想在STEP考試中拿高分的學生也會出現比較功利的想法:

只要集中練習最後一問,多學習其解法,練得足夠多就可以提高成績。

訓練最後比較難的小問肯定是需要的,但本質上還是要參透STEP題前幾個小問用到的數學方法,以及如何將這些方法遷移到最後一問,從而解決問題。

謝濤老師在授課、指導學生學習STEP的時候經常會帶著學生去感悟和提煉經典STEP題型前幾個小問的求解過程和原理,因為只有把這種能力訓練出來,才能從根本上解決知識遷移的能力。

4. 數學運算能力

STEP考試不允許使用計算器,對數學運算能力要求很高,基本可以對標國內高考對數學運算的能力要求。

所以從國內課程體系上來的學生,數學運算能力基本能達到STEP考試的要求。

但學習A Level、AP和IB等國際課程的學生,會有相當一部分學生的數學運算能力達不到STEP考試的要求,從而影響解題速度。所以這些學生往往還需要進行專門的運算技巧和速度訓練。

5.書寫規範

數學證明、推理過程的書寫是中國學生普遍比較弱的。書寫不規範會直接導致不得分,後果很嚴重。所以謝濤老師會針對每個學生的書寫問題進行針對性的調教。

二、STEP備考時間規劃

劍橋官方建議備考STEP的時間不少於6個月。但具體備考時間長短還是因人而異。據謝濤老師的觀察:多數取得等級1以上成績的學生備考時間不少於9個月,或者少於6個月但平均每天練習STEP的時間不少於2小時、累計訓練時長400小時以上。

針對不同數學基礎和學習經歷的學生,謝濤老師的建議是:

1. 剛開始學習高中階段的數學課程

如A Level數學、AP微積分等,通常這類學生有12-18個月的時間為第一次參加STEP考試做準備,建議平均每周5-6小時,也就是每周有半天左右的時間用於練習STEP。期間還可以嘗試準備AMC、BMO等含金量較高的數學競賽。

2. 學完A Level數學或AP微積分,但尚未學習進階數學

通常這類學生還有6-12個月的時間準備第一次STEP考試,但次年6月還要參加A Level大考和AP考試,所以實際備考STEP的時間會非常緊張,需要充分利用周末和假期時間強化STEP訓練,且越早開始越好。

3. 正在學習(或學完)進階數學、以及拿到條件錄取

通常這類學生只有3-6個月的時間參加唯一一次STEP考試,備考壓力非常大。但備考STEP沒有捷徑,要想取得等級1以上的成績,必須保證每周16小時以上的訓練時間,還要盡量提高備考效率、少走彎路。

三、需要學完哪些數學課程?

STEP 2要求AS進階數學的內容,而STEP 3則進一步要求A2進階數學的內容。

1. 學習A Level課程體系的學生

建議學完A Level數學課程的全部內容後再開始備考STEP。如果想再提前一些,也即計劃在學習A Level數學的同時備考STEP,那麽也建議等學生學完微分知識以後再開始。

而進階數學則不建議提前學習,因為進階數學中的一些知識和方法長時間不用容易遺忘,如微分方程、雙曲函數等。所以一般建議學生在學習進階數學的同時就開始備考STEP,這樣兩者相互促進,學習、備考效率最高。

2. 學習AP課程體系的學生

AP微積分學到一半左右即可開始備考STEP,同時要留出一定的時間補充A Level進階數學的純數部分知識。AP物理C力學的知識基本覆蓋STEP力學的考點,基本不太需要專門學習進階數學的力學部分。而AP統計跟STEP統計差異較大,如果希望嘗試做STEP統計題,還是需要補充進階數學的統計部分知識。

3. 學習IB課程體系的學生

3. 學習IB課程體系的學生 根據以往的案例,IB體系的學生在備考STEP時通常不具有優勢,主要是平時課業壓力比較大,備考時間受到擠壓。建議學生提前學完SL和HL數學,留出較長的備考時間。

四、STEP備考訓練方法

備考的兩種主要訓練方式或階段:系統學習刷歷年真題。但STEP的備考則非常不建議使用刷歷年真題的方式進行。

1. 為什麽不建議用刷題的方式代替系統學習?

有不少學生因為備考時間緊張,就希望套用A Level數學或AP微積分、IB HL數學(以下統稱國際高中數學)的備考成功經驗——刷幾套真題看看往年考哪些題,然後練幾道類似的題就成功拿到高分。下面通過對比的方式來說明為什麽這類方式不適用於STEP備考:

維度 國際高中數學 STEP考試
綜合度 考查知識點相對單一、且固定,只要會做幾類固定的題型就可以確保拿高分。 知識點、解題方法、技巧都很綜合,沒有長時間的訓練很難達到較高的熟練度,也很難拿高分。
考點 考綱變化不大,且考點與試題一一對應,所以刷近幾年真題效果非常明顯。 近幾年每套試卷只有12-13道題,覆蓋的考點不到大綱的10%。即便刷完近10年的真題,也未必能覆蓋全部大綱。且2019年大綱進行了大幅修訂,刷到不考的知識點浪費時間、新增知識點又刷不到。
解析 過程詳細,評分標準明確,對刷題反饋很有幫助。 有些年份的官方解析不詳細、也不提供圖像,更有個別真題解析出錯(謝濤老師的配套課程中已做修訂),這些會浪費寶貴的備考時間。評分標準不詳甚至缺失。
知識體系 在經過系統學習高中數學知識的情況下刷題,效果必然明顯。 除需掌握高中數學知識外,還需要掌握數論、數學證明方法等知識以及一些基本的數學思想。

綜上,學生在進入刷題階段之前,要能預留足夠的時間系統學習和掌握STEP考試需要的知識和方法。

2. 如何進行系統訓練?

謝濤老師經過多年STEP教學總結出的系統訓練方式可以簡單概括為五點:

數學知識、思維方式、計算速度、解題方法和書寫習慣並重

1. 完善數學知識體系

無論是A Level數學、進階數學,還是AP微積分、IB HL數學,知識點都不能完全覆蓋STEP考點,所以補充學習STEP「超綱」內容是備考過程中的重要一環。

2. 訓練數學思維方式

在教學實踐中,有不少學生非常具有數學天賦,但思維方式跳躍、邏輯推理不嚴謹,也有部分學生沒有掌握系統的數學思維方法,這些都會影響STEP的解題和得分。一般經過系統的、有針對性的調教,學習批判性的數學思維方式後,這些問題會得到明顯改善。

3. 不依賴計算器、提高計算速度

現在國際數學課程都允許使用計算器,尤其是學習美高、AP課程的學生,更是依賴圖形計算器強大的計算、繪圖功能,導致部分學生過於依賴計算器,所以在不使用計算器做STEP題的時候心算熟練程度不夠、解題速度慢。STEP考試的計算量遠遠超過A Level數學、進階數學,且不允許使用計算器。因此對於備考STEP的學生來說,要盡量少使用計算器或不用計算器,並長期堅持下來,自然會提高計算速度。

4. 通過練習積累解題方法

有不少STEP題都自帶新的解題方法,只要能細心觀察、反復揣摩題目的意圖就很容易習得新的解題方法。而如果能在老師的引導下回顧、品味題目,學生往往能在數學思維方式上得到提升。長期訓練能積累不少常用的解題方法,融匯貫通這些方法以後數學素養也隨之提升,成為牛津、劍橋大學青睞的學生也就成為必然。

5. 養成良好的書寫習慣

STEP強調推理邏輯的嚴謹性,規範的書寫過程和簡潔的文字推理能很好的展現學生紮實的數學功底。而不規範的書寫和表達往往成為STEP考試取得高分的障礙。書寫習慣也不是一朝一夕就能練出來,這需要從最初備考STEP時就嚴格要求、認真練習數學語言的組織和表達。

每個學生的個性和天資都不完全一樣,在製定系統訓練方案的時候,需要結合學生的實際情況做好長線規劃,追求用最少的時間和花費得到最好的備考效果和最理想的STEP成績。

3. 考前一定要安排模考

盡管STEP考試時間與其他大考時間相沖突,但還是建議安排2-3次STEP模考。一般考前3-4周安排刷一套真題,考前2周左右刷第二套,考前3天左右再安排刷一套。

模考用的真題以近三年為宜,感受近幾年STEP的命題趨勢、適應STEP考試難度。

模考時要嚴格按照考試要求計時並對照評分標準判分。

每次模考後一定要及時總結、查找知識漏洞,然後有針對性的練習鞏固。

五、備考資源推薦

1. 歷年真題集

點擊下方圖片翻閱STEP 2和STEP 3曆年真題集

优易牛剑备考|剑桥STEP 2历年真题集(1987-2023)
优易牛剑备考|剑桥STEP 3历年真题集(1987-2023)

上述兩套真題集(PDF)分類整理了自1987年以來的STEP 2和STEP 3全部真題,文字清晰、設計精美,方便學生查閱和用於模考練習。

2. 謝濤講STEP備考系列課程

牛剑备考-剑桥STEP备考课程2022

STEP 2023【第6版】課程適配2023版最新大綱。該版新增了部分例題和習題、小幅提升了習題難度。點擊圖片鏈接可查看課程詳情。

3. 劍橋STEP備考支持項目(Support Programme)

備考指南-劍橋STEP備考-STEP支持項目

劍橋官方的STEP支持站點,免費提供STEP Foundation、STEP 2和STEP 3的assignments和mixed questions。每個assignment都配有答案。

這套資料對STEP初學者有一定的幫助。缺點是題量少,每套assigment只有4道題左右,且選題偏易,水平高一點的學生基本上1-2個小時就能完成。想要取得等級1甚至S的成績,僅靠這套資料還遠遠不夠。

4. 官方推薦解題類、教材類讀物

How to Think Like a Mathematician
How to Think Like a Mathematician

劍橋大學出版,講解了基本的數學思想、邏輯推理和證明方法,大部分章節配有少量的練習題,盡管封面推薦作為本科數學專業學生教輔,但也同樣適合備考牛劍數學專業的高中生閱讀和學習。

Solving Mathematical Problems
Solving Mathematical Problems

牛津大學出版,全書不到100頁,介紹了數學解題的一些基本策略,列舉了一些淺顯易懂的例題,例題範圍涵蓋數論、代數、歐幾裏得幾何、解析幾何等知識領域。

Advanced Problems in Mathematics
Advanced Problems in Mathematics

劍橋官方推薦,適合於STEP備考的解題類讀物。要是這些書還不能滿足,可以挑戰下面這本書。

A Concise Introduction to Pure Mathematics
A Concise Introduction to Pure Mathematics

這本書裏面有些例題、方法基本就是STEP試題的原型。

如果上面這些資料還覺得不夠,可參考《申請指南|牛津劍橋數學類專業》了解更多官方推薦讀物。

申請指南-牛津劍橋數學類專業

5. 同級別數學競賽題

推薦英國數學奧賽British Mathematical Olympiad。BMO Round 1全是簡答題(2020年受疫情影響,題型改為選擇題+簡答題),有些題跟劍橋STEP出題風格類似,裏面關於代數、數列、幾何的題可以拿來練練手,對備考劍橋STEP有一定的幫助。但需要註意的是:高中數學競賽題一般不涉及微積分,而劍橋STEP必考微積分,且占比不小。

對於10年級(G年級)、11年級(AS年級)上學期就開始準備STEP的學生而言,美國數學競賽AMC 10和12、英國數學挑戰賽UKMT的IMC和SMC也都是非常值得挑戰的數學競賽。

競賽沖獎-英國數學競賽

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