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谢涛老师:为什么要备考剑桥STEP考试?

作者简介
优易国际教育-谢涛老师-形象照

谢 涛

独立教师,硕士,牛剑导师、竞赛金牌教练。原北京海淀著名公立高中国际部首批全英授课双语教师,历任教学总监、学术校长等职务。拥有17年高中课程教学和牛剑、竞赛课程研发经验。受益于其课程的学员上千人,其中获得藤校、牛剑、G5大学录取的超过100人,获得各类国际竞赛顶级奖项的学员更是不计其数。

STEP考试全方位考查学生的数学学科素养,而不仅仅是考查中国学生最擅长的运算能力。因此,学生需要先了解STEP考查的重点是什么,才能有的放矢、进行针对性的训练,从而提高STEP考试成绩。

1. 数学推理的严谨性和完备性

多数学生在校内学习时没有经过系统的逻辑推理方法的训练,所以在进行数学推理时更多的是凭直觉解决问题。

STEP题目给的条件一般都比较复杂,要得出最终结论需要若干步骤,而这些步骤之间的逻辑关系及其严谨性是重要的得分点。

复杂的证明题往往需要对若干情形进行分类讨论,讨论不完整容易导致大幅丢分。

谢涛老师一般都是从训练学生的数学推理能力开始,因为严谨性和完备性相辅相成的,也是备考的重中之重。

2. 数学证明方法

STEP考查的数学证明方法非常有限,都是高中数学最常用的证明方法。掌握这些方法本身并不难,难的是在复杂题目中选择合适的方法并能熟练运用。

证明方法的运用建立在数学推理基础之上,需要通过一定量的经典题练习来积累经验,从而提高运用数学证明方法的熟练度。

3. 在新情境下知识迁移的能力

多数学生最容易卡壳的是STEP题最后一个小问。所以很多想在STEP考试中拿高分的学生也会出现比较功利的想法:

只要集中练习最后一问,多学习其解法,练得足够多就可以提高成绩。

训练最后比较难的小问肯定是需要的,但本质上还是要参透STEP题前几个小问用到的数学方法,以及如何将这些方法迁移到最后一问,从而解决问题。

谢涛老师在授课、指导学生学习STEP的时候经常会带着学生去感悟和提炼经典STEP题型前几个小问的求解过程和原理,因为只有把这种能力训练出来,才能从根本上解决知识迁移的能力。

4. 数学运算能力

STEP考试不允许使用计算器,对数学运算能力要求很高,基本可以对标国内高考对数学运算的能力要求。

所以从国内课程体系上来的学生,数学运算能力基本能达到STEP考试的要求。

但学习A Level、AP和IB等国际课程的学生,会有相当一部分学生的数学运算能力达不到STEP考试的要求,从而影响解题速度。所以这些学生往往还需要进行专门的运算技巧和速度训练。

5.书写规范

数学证明、推理过程的书写是中国学生普遍比较弱的。书写不规范会直接导致不得分,后果很严重。所以谢涛老师会针对每个学生的书写问题进行针对性的调教。

二、STEP备考时间规划

剑桥官方建议备考STEP的时间不少于6个月。但具体备考时间长短还是因人而异。据谢涛老师的观察:多数取得等级1以上成绩的学生备考时间不少于9个月,或者少于6个月但平均每天练习STEP的时间不少于2小时、累计训练时长400小时以上。

针对不同数学基础和学习经历的学生,谢涛老师的建议是:

1. 刚开始学习高中阶段的数学课程

如A Level数学、AP微积分等,通常这类学生有12-18个月的时间为第一次参加STEP考试做准备,建议平均每周5-6小时,也就是每周有半天左右的时间用于练习STEP。期间还可以尝试准备AMC、BMO等含金量较高的数学竞赛。

2. 学完A Level数学或AP微积分,但尚未学习进阶数学

通常这类学生还有6-12个月的时间准备第一次STEP考试,但次年6月还要参加A Level大考和AP考试,所以实际备考STEP的时间会非常紧张,需要充分利用周末和假期时间强化STEP训练,且越早开始越好。

3. 正在学习(或学完)进阶数学、以及拿到条件录取

通常这类学生只有3-6个月的时间参加唯一一次STEP考试,备考压力非常大。但备考STEP没有捷径,要想取得等级1以上的成绩,必须保证每周16小时以上的训练时间,还要尽量提高备考效率、少走弯路。

三、需要学完哪些数学课程?

STEP 2要求AS进阶数学的内容,而STEP 3则进一步要求A2进阶数学的内容。

1. 学习A Level课程体系的学生

建议学完A Level数学课程的全部内容后再开始备考STEP。如果想再提前一些,也即计划在学习A Level数学的同时备考STEP,那么也建议等学生学完微分知识以后再开始。

而进阶数学则不建议提前学习,因为进阶数学中的一些知识和方法长时间不用容易遗忘,如微分方程、双曲函数等。所以一般建议学生在学习进阶数学的同时就开始备考STEP,这样两者相互促进,学习、备考效率最高。

2. 学习AP课程体系的学生

AP微积分学到一半左右即可开始备考STEP,同时要留出一定的时间补充A Level进阶数学的纯数部分知识。AP物理C力学的知识基本覆盖STEP力学的考点,基本不太需要专门学习进阶数学的力学部分。而AP统计跟STEP统计差异较大,如果希望尝试做STEP统计题,还是需要补充进阶数学的统计部分知识。

3. 学习IB课程体系的学生

根据以往的案例,IB体系的学生在备考STEP时通常不具有优势,主要是平时课业压力比较大,备考时间受到挤压。建议学生提前学完SL和HL数学,留出较长的备考时间。

四、STEP备考训练方法

备考的两种主要训练方式或阶段:系统学习刷历年真题。但STEP的备考则非常不建议使用刷历年真题的方式进行。

1. 为什么不建议用刷题的方式代替系统学习?

有不少学生因为备考时间紧张,就希望套用A Level数学或AP微积分、IB HL数学(以下统称国际高中数学)的备考成功经验——刷几套真题看看往年考哪些题,然后练几道类似的题就成功拿到高分。下面通过对比的方式来说明为什么这类方式不适用于STEP备考:

维度 国际高中数学 STEP考试
综合度 考查知识点相对单一、且固定,只要会做几类固定的题型就可以确保拿高分。 知识点、解题方法、技巧都很综合,没有长时间的训练很难达到较高的熟练度,也很难拿高分。
考点 考纲变化不大,且考点与试题一一对应,所以刷近几年真题效果非常明显。 近几年每套试卷只有12-13道题,覆盖的考点不到大纲的10%。即便刷完近10年的真题,也未必能覆盖全部大纲。且2019年大纲进行了大幅修订,刷到不考的知识点浪费时间、新增知识点又刷不到。
解析 过程详细,评分标准明确,对刷题反馈很有帮助。 有些年份的官方解析不详细、也不提供图像,更有个别真题解析出错(谢涛老师的配套课程中已做修订),这些会浪费宝贵的备考时间。评分标准不详甚至缺失。
知识体系 在经过系统学习高中数学知识的情况下刷题,效果必然明显。 除需掌握高中数学知识外,还需要掌握数论、数学证明方法等知识以及一些基本的数学思想。

综上,学生在进入刷题阶段之前,要能预留足够的时间系统学习和掌握STEP考试需要的知识和方法。

2. 如何进行系统训练?

谢涛老师经过多年STEP教学总结出的系统训练方式可以简单概括为五点:

数学知识、思维方式、计算速度、解题方法和书写习惯并重

1. 完善数学知识体系

无论是A Level数学、进阶数学,还是AP微积分、IB HL数学,知识点都不能完全覆盖STEP考点,所以补充学习STEP“超纲”内容是备考过程中的重要一环。

2. 训练数学思维方式

在教学实践中,有不少学生非常具有数学天赋,但思维方式跳跃、逻辑推理不严谨,也有部分学生没有掌握系统的数学思维方法,这些都会影响STEP的解题和得分。一般经过系统的、有针对性的调教,学习批判性的数学思维方式后,这些问题会得到明显改善。

3. 不依赖计算器、提高计算速度

现在国际数学课程都允许使用计算器,尤其是学习美高、AP课程的学生,更是依赖图形计算器强大的计算、绘图功能,导致部分学生过于依赖计算器,所以在不使用计算器做STEP题的时候心算熟练程度不够、解题速度慢。STEP考试的计算量远远超过A Level数学、进阶数学,且不允许使用计算器。因此对于备考STEP的学生来说,要尽量少使用计算器或不用计算器,并长期坚持下来,自然会提高计算速度。

4. 通过练习积累解题方法

有不少STEP题都自带新的解题方法,只要能细心观察、反复揣摩题目的意图就很容易习得新的解题方法。而如果能在老师的引导下回顾、品味题目,学生往往能在数学思维方式上得到提升。长期训练能积累不少常用的解题方法,融汇贯通这些方法以后数学素养也随之提升,成为牛津、剑桥大学青睐的学生也就成为必然。

5. 养成良好的书写习惯

STEP强调推理逻辑的严谨性,规范的书写过程和简洁的文字推理能很好的展现学生扎实的数学功底。而不规范的书写和表达往往成为STEP考试取得高分的障碍。书写习惯也不是一朝一夕就能练出来,这需要从最初备考STEP时就严格要求、认真练习数学语言的组织和表达。

每个学生的个性和天资都不完全一样,在制定系统训练方案的时候,需要结合学生的实际情况做好长线规划,追求用最少的时间和花费得到最好的备考效果和最理想的STEP成绩。

3. 考前一定要安排模考

尽管STEP考试时间与其他大考时间相冲突,但还是建议安排2-3次STEP模考。一般考前3-4周安排刷一套真题,考前2周左右刷第二套,考前3天左右再安排刷一套。

模考用的真题以近三年为宜,感受近几年STEP的命题趋势、适应STEP考试难度。

模考时要严格按照考试要求计时并对照评分标准判分。

每次模考后一定要及时总结、查找知识漏洞,然后有针对性的练习巩固。

五、备考资源推荐

1. 历年真题集

点击下方图片翻看STEP 2和STEP 3历年真题集

优易牛剑备考|剑桥STEP 2历年真题集(1987-2023)
优易牛剑备考|剑桥STEP 3历年真题集(1987-2023)

上述两套真题集(PDF)分类整理了自1987年以来的STEP 2和STEP 3全部真题,文字清晰、设计精美,方便学生查阅和用于模考练习。

2. 谢涛讲STEP备考系列课程

牛剑备考-剑桥STEP备考课程2022

STEP 2023【第6版】课程适配2023版最新大纲。该版新增了部分例题和习题、小幅提升了习题难度。点击图片链接可查看课程详情。

3. 剑桥STEP备考支持项目(Support Programme)

备考指南-剑桥STEP备考-STEP支持项目

剑桥官方的STEP支持站点,免费提供STEP Foundation、STEP 2和STEP 3的assignments和mixed questions。每个assignment都配有答案。

这套资料对STEP初学者有一定的帮助。缺点是题量少,每套assigment只有4道题左右,且选题偏易,水平高一点的学生基本上1-2个小时就能完成。想要取得等级1甚至S的成绩,仅靠这套资料还远远不够。

4. 官方推荐解题类、教材类读物

How to Think Like a Mathematician
How to Think Like a Mathematician

剑桥大学出版,讲解了基本的数学思想、逻辑推理和证明方法,大部分章节配有少量的练习题,尽管封面推荐作为本科数学专业学生教辅,但也同样适合备考牛剑数学专业的高中生阅读和学习。

Solving Mathematical Problems
Solving Mathematical Problems

牛津大学出版,全书不到100页,介绍了数学解题的一些基本策略,列举了一些浅显易懂的例题,例题范围涵盖数论、代数、欧几里得几何、解析几何等知识领域。

Advanced Problems in Mathematics
Advanced Problems in Mathematics

剑桥官方推荐,适合于STEP备考的解题类读物。要是这些书还不能满足,可以挑战下面这本书。

A Concise Introduction to Pure Mathematics
A Concise Introduction to Pure Mathematics

这本书里面有些例题、方法基本就是STEP试题的原型。

如果上面这些资料还觉得不够,可参考《申请指南|牛津剑桥数学类专业》了解更多官方推荐读物。

申请指南-牛津剑桥数学类专业

5. 同级别数学竞赛题

推荐英国数学奥赛British Mathematical Olympiad。BMO Round 1全是简答题(2020年受疫情影响,题型改为选择题+简答题),有些题跟剑桥STEP出题风格类似,里面关于代数、数列、几何的题可以拿来练练手,对备考剑桥STEP有一定的帮助。但需要注意的是:高中数学竞赛题一般不涉及微积分,而剑桥STEP必考微积分,且占比不小。

对于10年级(G年级)、11年级(AS年级)上学期就开始准备STEP的学生而言,美国数学竞赛AMC 10和12、英国数学挑战赛UKMT的IMC和SMC也都是非常值得挑战的数学竞赛。

竞赛冲奖-英国数学竞赛

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